Thước Golomb dưới dạng tập hợp

Một tập hợp số nguyên

A = { a 1 , a 2 , . . . , a m } a 1 < a 2 < . . . < a m {\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\right\}\quad a_{1}<a_{2}<...<a_{m}}

là một thước Golomb khi và chỉ khi

∀ i , j , k , l ∈ { 1 , 2 , . . . , m } , a i − a j = a k − a l ⟺ i = k ∧ j = l . {\displaystyle \forall i,j,k,l\in \left\{1,2,...,m\right\},a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}\iff i=k\land j=l.} [14]

Bậc của thước Golomb là m {\displaystyle m} và chiều dài của thước là a m − a 1 {\displaystyle a_{m}-a_{1}} . Dạng chính tắc có a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} và nếu m > 2 {\displaystyle m>2} , a 2 − a 1 < a m − a m − 1 {\displaystyle a_{2}-a_{1}<a_{m}-a_{m-1}} . Có thể thu được dạng đó bằng cách thực hiện phép tịnh tiến và lấy đối xứng.

Thước Golomb dưới dạng hàm số

Một đơn ánh

f : { 1 , 2 , . . . , m } → { 0 , 1 , . . . , n } {\displaystyle f:\left\{1,2,...,m\right\}\to \left\{0,1,...,n\right\}}

với f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(1)=0} và f ( m ) = n {\displaystyle f(m)=n} là một thước Golomb khi và chỉ khi

∀ i , j , k , l ∈ { 1 , 2 , . . . , m } , f ( i ) − f ( j ) = f ( k ) − f ( l ) ⟺ i = k ∧ j = l . {\displaystyle \forall i,j,k,l\in \left\{1,2,...,m\right\},f(i)-f(j)=f(k)-f(l)\iff i=k\land j=l.} [15]:236

Bậc của thước là m {\displaystyle m} và chiều dài của thước là n {\displaystyle n} . Dạng chính tắc có

f ( 2 ) < f ( m ) − f ( m − 1 ) {\displaystyle f(2)<f(m)-f(m-1)} nếu m > 2 {\displaystyle m>2} .

Tối ưu

Thước Golomb bậc m {\displaystyle m} và chiều dài n có thể là tối ưu theo một trong hai tiêu chuẩn sau:[15]:237

• trù mật tối ưu, nếu có m lớn nhất cho một giá trị n cố định
• ngắn tối ưu, nếu có n nhỏ nhất cho một giá trị m cố định

Thuật ngữ thước Golomb tối ưu thường được dùng để chỉ loại thứ hai.